🔘 点乘

$a \cdot b$

点乘被用于向量和一维矩阵的计算，点乘的结果是一个值(标量)。

计算公式

$$ a \cdot b = a_1b_1 +a_2b_2+...+a_nb_n $$

向量 a 和向量 b 的每个元素一一对应的进行乘法运算，然后将结果用加法求和。

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影

代码参考

export function dotProduct(mA: number[], mB: number[]) {
  return mA.map((_, i) => mA[i] * mB[i]).reduce((a, b) => a + b)
}

结果的几何意义

两个向量的方向越接近则值越大，完全同向时值为 1，完全相反时值为 -1，90度夹角时值为 0。可用于判断两个向量之间的距离远近、朝向是否相同。

满足交换律

计算向量投影

向量 b 到向量 a 的投影称为 $\vec b_\bot$ , 它的长度（标量投影）公式是： $$ |\vec b_\bot| = |\vec b|\cos\theta $$ 得出 $\vec b_\bot$ 的向量投影公式： $$ \vec b_\bot = |\vec b|\cos\theta \hat a $$ 通过 $\vec b - \vec b_\bot$ 可以得到 $\vec b$ 另一个方向上的分量