✖️ 叉乘

$a \times b$

点乘被用于向量和一维矩阵的计算，叉乘的计算结果c是一个新的向量。

几何意义

• 两个向量的叉积c与这两个向量组成的坐标平面垂直，c向量长度在两个向量平行时为零。
• 因为叉乘的反交换律：“ $\begin{equation}\begin{split} & a\times \ b = c \ & b \times a = -c\ \end{split}\end{equation}$ ” 所以可以通过 c 向量的方向来判断 b 向量是在 a 的左边还是右边。

• 假设有一点P 和一个三角形，通过遍历三角形所有边并叉乘点 P 的相对位置，还可以得出点P是在三角形的内侧还是外侧。

使用右手定则确定叉乘结果向量的方向

这两种方法都可以，第一种更好记一些。

计算方法

$$ \begin{equation}\begin{split} c_x = a_yb_z - a_zb_y \ c_y = a_zb_x - a_xb_z \ c_z = a_xb_y - a_yb_x \ \end{split}\end{equation} $$

代码实现

export function crossProduct(vA: number[], vB: number[]) {
  const product = (t = 0, v = 0) => t * v
  const itemCrossProduct = (mA: number[], mB: number[]) => {
    return mA.reduce(product) - mB.reduce(product)
  }
  return [
    itemCrossProduct([vA[1], vB[2]], [vA[2], vB[1]]),
    itemCrossProduct([vA[2], vB[0]], [vA[0], vB[2]]),
    itemCrossProduct([vA[0], vB[1]], [vA[1], vB[0]]),
  ]
}

参考资料

• https://www.shuxuele.com/algebra/vectors-cross-product.html
• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF